Il a été démontré que, pour qu'un système soit multistationnaire, il faut qu'il y ait une boucle de rétroaction positive entre certains de ses éléments. Cela signifie que certaines des interactions se bouclent sur elles-mêmes (boucle de rétroaction) de telle sorte que chacun des éléments de la boucle agisse in fine positivement sur soi-même (rétroaction positive).
Par exemple, A influe positivement sur B, B, influe positivement sur C, C influe positivement sur A. Donc, in fine, chaque élément influe positivement sur lui-même. Un tel système a deux états stationnaires stables, ou bien A, B et C sont présents (ou favorisés), ou bien ces éléments sont tous absents (ou défavorisés). Une autre configuration, nettement moins intuitive, correspond également à une boucle de rétroaction positive, lorsque A influe négativement sur B (défavorise B), qui influe négativement sur A (défavorise) A. Dans ce cas aussi, in fine, A se favorise lui-même. Le système a deux solutions : ou bien A est présent (ou favorisé) et B absent (ou défavorisé), ou bien c'est l'inverse. Une boucle de rétroaction positive peut concerner un grand nombre d'éléments en interaction, mais comprend un nombre pair d'interactions négatives. Il s'agit d'une forme de causalité, dite circulaire puisque chaque élément y est à la fois cause et effet. La sagesse populaire en est bien consciente, qui parle de cercle vicieux ou dit qu'il pleut toujours où c'est mouillé ou encore l'ennemi de mon ennemi est mon ami. J'insiste sur cette propriété car la cybernétique puis la systémique ont surtout fait usage des boucles de rétroaction négative, qui agissent pour permettre in fine l'action de chaque élément négativement sur lui-même et qui sont donc responsables des effets d'homéostasie. L'exemple le plus connu en est le thermostat : si la température s'élève, elle éteint le radiateur, ce qui entraîne une diminution de la température, qui rallume le radiateur. L'importance déterminante des boucles de rétroaction positives dans le comportement des systèmes dynamiques n'est connue que depuis peu (1).
(1) L'importance des boucles de rétroaction positive dans le comportement des systèmes dynamiques a été conjecturée par le biologiste René Thomas au début des années 80, puis démontrée mathématiquement au début des années 2000.
Mais là ne s'arrêtent pas les étrangetés des comportements des systèmes dynamiques non-linéaires. Dans certains cas, la dynamique ne s'arrête jamais, on dit qu'ils ont une solution périodique, parce qu'au lieu d'avoir un état stationnaire, les variables repassent toujours par les mêmes valeurs. Un métronome donne une bonne idée d'un tel comportement stable, tout comme, en première approximation, les battements du cœur (2).
(2) Comportement insolite par rapport à ceux des équations habituelles, mais en réalité, on le voit, très commun.