Jusqu'à présent, nous avons vu uniquement l'influence réciproque des variables sur les transformations d'un système en fonction du temps. Mais un système existe dans un environnement qui peut influencer sa dynamique et sera représenté sous forme de paramètres (causes externes) constants dans les équations. Or ces paramètres peuvent aussi évoluer. Par exemple, la température est souvent un paramètre important des réactions chimiques ou biochimiques. Si un paramètre se met à évoluer le bon sens nous dira que le système va évoluer en proportion (les réactions chimiques se feront plus vite, si la température augmente). Dans beaucoup de cas c'est vrai. Mais avec ces diables de systèmes non-linéaires, on doit commencer à se méfier. Et on a raison !
On a pu montrer que les systèmes dynamiques non-linéaires peuvent changer de type de solution, lorsqu'un paramètre (pas n'importe lequel) dépasse, si peu que ce soit, un seuil dit critique. Un système possédant un état stationnaire donné peut changer d'état stationnaire, ou devenir oscillant, chaotique ou multistationnaire, (et réciproquement). Ce phénomène a été dénommé bifurcation. Un exemple concret en est, encore une fois, la prise de la mayonnaise (1), le paramètre qui fait passer le mélange de l'état (stationnaire) liquide à l'état (stationnaire mais différent) de gel, est la quantité d'eau dans l'émulsion. En physique, on dénomme ce processus un changement de phase (de deuxième ordre). Un système physique ou chimique acquiert ainsi une dimension historique, puisque, à chaque bifurcation, il se fait un choix dont dépendra tout ce qui suivra. Lorsqu'elle se produit, une succession de choix aléatoires illustre l'incertitude d'un parcours historique, même lorsque, à chaque étape, les états possibles entre lesquels le système « choisit » sont parfaitement déterminés et connaissables grâce aux équations par lequel on aura pu le modéliser (2).
Enfin, lorsqu'un système physique est soumis à la variation d'un de ses paramètres de contrôle, il devient souvent très instable près du point de bifurcation et se met à fluctuer avant d'adopter son nouveau régime. La toupie qui oscille dans tous les sens avant de tomber, lorsque sa vitesse diminue, en est un bon exemple. Cette zone frontière, est particulièrement sensible aux actions extérieures : lors d'une bifurcation fourche (3), le choix de l'état final (ou du bassin d'attraction) sera souvent aléatoire, avec la même probabilité d'arriver dans l'un ou l'autre des états stationnaires, si bien qu'une très faible perturbation peut déterminer vers lequel des bassins d'attractions qui vont apparaître le système va se diriger.
(1) Le système, à l'état liquide, contient de l'huile et de l'eau (dans le jaune d'œuf). En mélangeant on forme une émulsion d'huile et eau où la quantité relative des deux varie lentement au fur et à mesure qu'on ajoute l'huile. La mayonnaise prend lorsque le liquide se transforme en gel (bifurcation appelée changement de phase en physique), et cela se produit pour un rapport eau/huile critique.
(2) On pourrait aussi se demander si une révolution, qui éclate brutalement comme la révolution tunisienne, la prise de la bastille, voire les émeutes de banlieues, ne s'apparentent pas à ce type de processus, bien qu'on ne puisse pas les modéliser.
(3) Bifurcation qui fait passer un système d'un état où il tend vers un seul état stationnaire à un état où deux états stationnaires sont également possibles.